Matematikte ilk bulunan sayılar Doğal Sayılardı. ilk çağlarda insanlar nesneleri saymak için kullandığı doğal sayılar  N = { 0,1,2,3,4,..       }  ile gösterilir. Daha sonra bu sayılar yetersiz kalmış ve ilerleyen zamanlarda Tam Sayıları bulmuşlar .Tam sayılar Z =   { ..-3,-2,-1,0,1,2,3..   } ile gösterilir.

  Ama yeri gelmiş bu sayılarda yetersiz kalmış.Bakkala giden amcacım oradan bir yarım ekmek ver dediğinde bununda matematikte bir karşılığı olmalıydı.. ve  Rasyonel Sayılar dediğiiz artık yarımı çeyreği rahatlıkla yazabileceğimiz sayılarda bulundu. Q =  { a/b ( a bölü b   ) şeklinde yazılır }    

  Tabi matematikçinin işi yok gücü yok buldukça bulası gelmiş birşeyleri.Bir dik üçgen düşünün. bu üçgenin dik kenarları 1'er  birim olsun.Peki hipotenüs dediğimiz o uzun kenar kaç birim olurdu?? evet sizlerin kök 2 dediğinizi duyar gibi oluyorum.Ama o zaman kök 2 diyen matematikçi arkadaşımız o zamanki insanlardan büyük tepki toplamış hatta belki de ölümle tehdit edilmişti. çünkü böyle bir sayı olamazdı.tabi zaman herşeyin ilacı zaman gelmiş Reel sayılar dediğimiz şu ana kadar en büyük sayı kümesini de artık keşfetmiş olduk.artık pi dediğmiz bir sayının da elemanı olduğu küme varmış dedik.

   Peki ya sonra...  

x^2 (x kare) eşittir -1 gibi bir denklem nasıl çözülür diye uğraşılmış.Bu tamamen polinom tipinde her denklemi çözmememiz gerektiği için araştılan bir denklemdir. Ama karesi negatif olan bir sayı olamazdı şu anki bildiğimiz şeyler bize bunu öğretiyordu.

   Ama matematikçiler için aşılamayan dağlar geçilmez tepeler yoktur.İmkansız diye birşey yoktur.Sadece bizim biraz zamanımızı alır...birkaç yüzyıl kadar :)

  Karesi çift olan sayılarla ilgili ilk bilgilere M.S. 1.inci yüzyılda Heron un çalışmalarında rastlanmıştır.Elle tutulur gelişmeler taa 16.' yüzyılda NİCOLLE FONTANA TARTAGLİA ve Gerolama Cardona tarafından yapılan köklerin kapalı formüllerine veren döneme rastlanır.Daha sonra Rene Descartes bu sayıların olabileceğine inanmış ama kurduğu koordinat sisteminde bu saylara yer bulamınya SANAL sayı olarak adlandırmış.O zaman fransızca imaginaire demekmiş sanal ve oradaki i harfi bugün sanal sayı birimi olarak kabul ediliyor.

  18.' yüzyılda Abraham De Moivre , Leonard Euler ve Caspar Wessel bu konuyla ilgilenmiş.Caspar Wessel bu sayıları geometrik olarak göstermeyi başarınca yavaş yavaş matematik dünyası da bu sayıları kabullenmiştir. Ve en son olark gelmiş geçmiş en büyük matematikçi kabul edilen Carl Friedrich Gauss yayımladığı Karmaşık Sayılar Teoresi isimli makalesiyle hem konuyu geliştirmiş hemde popüler olmasını sağlamıştır.Gauss bu boru değil. yeter ki el atsın :)

MATEMATİKTE karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. özelliğini sağlayan sanal birime denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde yerine, kullanılır.

Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.

Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.