Fonksiyonlar Konusu

FONKSİYON

A ≠ Ø ve B ≠ Ø  olmak üzere, A dan B ye bir β bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.

∀x ∈ A ve y ∈ B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f: A → B ya da x→f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}   biçiminde de gösterilir.

• Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

• Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

 

• s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

  i) A dan B ye n^m tane fonksiyon tanımlanabilir.

  ii) B den A ya mⁿ tane fonksiyon tanımlanabilir.

 iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı  dir.

• Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

FONKSİYONLARDA İŞLEMLER

A ∩ B ≠ Ø olmak üzere,
f : A → R ve g : B → R  fonksiyonları tanımlansın.
1. (f + g) : A ∩ B → R , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. (f – g) : A ∩ B → R , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
3. (f . g) : A ∩ B → R , (f . g)(x) = f(x) . g(x)
4. ∀x ∈ A ∩ B için, g(x) ≠ 0 olmak üzere, : A ∩ B → R, 

5. c ∈ R olmak üzere,  f) : A → R , (c . f)(x) = c . f(x) tir.

FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon

 

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir. Buna göre, bire bir fonksiyonda,

∀x_1, x₂ ∈ A için,x₁≠X₂ iken f(x1) ≠ f(X₂) olur.

s(A) = m ve s(B) = n (n ≥ m) olmak üzere, A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,

2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

• f : A → Bf(A) = B ise, f örtendir.

 

s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı, m! = m . (m – 1) . (m – 2) . … . 3 . 2 . 1 dir.3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

• İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.

• s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı m^m– m! dir.

4. Birim (Etkisiz)

Fonksiyon Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

f: R → R, f(x)=x  ise f birim (etkisiz) fonksiyondur.

 

• Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

• ∀x ∈ A ve c ∈ B için, f : A → B
   f(x) = c  ise, f sabit fonksiyondur.

• s(A) = m, s(B) = n olmak üzere, A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f: R → R

f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

• Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.

• Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

EŞİT FONKSİYON

f : A → B
g : A → B

Her x ∈ A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

PERMÜTASYON FONKSİYON

f : A → A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyondenir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A → A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup 

biçiminde gösterilir.

TERS FONKSİYON

f : A → B, f = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,

: B → A, = {(y, x)|(x, y) ∈ f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

(x, y) ∈ f ise, (y, x) ∈  olduğu için,y = f(x) ise, x = (y) dir.

Ayrıca,  = f dir.

• f fonksiyonu bire bir ve örten değilse,  fonksiyon değildir.

• f : A → B ise,  : B → A olduğu için, f nin tanım kümesi,  in değer kümesidir. f nin değer kümesi de,  in tanım kümesidir.

• f(a) = b ise, (b) = a dır.(b) = a ise, f(a) = b dir.

• f(x) = ax + b ise, (x) = 

• f(x) =  ise, (x) = 

• y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = (x) in grafiği y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.

BİLEŞKE FONKSİYON

f : A → B, g : B → C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

Buna göre,
f : A → B ve g : B → C olmak üzere, gof : A → C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

• (gof)(x) = g[f(x)] tir.
Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.Bu durumda, fog ≠ gof dir.
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.

• Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.

• I birim fonksiyon olmak üzere,foI = Iof = f ve of = fo=I dır.

FONKSİYONUN GRAFİĞİ

Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.

f : A → B, f = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B, y = f(x)}

(a, b) ∈ f olduğundan
f(a) = b dir.
Ayrıca, f(b) = a dır.