Karmaşık Sayılar Konusu
Karmaşık Sayılar
sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir ve 
veya 
ile gösterilir. Uyarı
a, b pozitif gerçel sayı ve x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,
i NİN KUVVETLERİ
olmak üzere,
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.
Sonuç
Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,
kalan 0 ise 
ifadesinin eşiti 1,
kalan 1 ise, ifadesinin eşiti i,
kalan 2 ise, ifadesinin eşiti –1,
kalan 3 ise, ifadesinin eşiti –i dir.
Buna göre, n tam sayı olmak üzere,
Tanım
a ve b birer reel (gerçel) sayı ve olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi 
z = a + bi karmaşık sayısında;
a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,
b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.
z = a + bi ise
Re(z) = a
İm(z) = b şeklinde gösterilir.
Parabol 
doğrusuna göre simetriktir.
Uyarı
Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar
kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani, 
doğrusuna göre simetriktir.
Uyarı
Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar
kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani,
İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.
KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ
Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.
x eksenine reel eksen, y eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.
Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.
z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.
KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
olmak üzere,
olmak üzere,
a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.
Z karmaşık sayısının eşleniği 
ile gösterilir. Buna göre,
Kural
Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir. Buna göre,
Kural
Reel kat sayılı, 
ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.
KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.
z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.
Yukarıdaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,
KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER
Toplama İşlemi
Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,
olmak üzere,
z=a+ib
w=c+id
karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,
z+w=(a+ib)+(c+id)
=(a+c)+i(b+d) dir.
Çıkarma İşlemi
z+(-w)=z-w
olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,
z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,
olmak üzere,
z=a+ib
w=c+id
karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,
z-w=(a+ib)-(c+id)
=(a-c)+i(b-d) dir.
Çarpma İşlemi
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.
z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,
=a.c+a.di+b.ci-b.d
=(a.c-b.d)+(a.d+b.c)i dir.
Sonuç
Kural
Bölme İşlemi
biçiminde gösterilir. Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,
Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler
Karmaşık Sayılar ile İlgili Yazılar
Karmaşık Sayı Formülleri
Matematikte ilk bulunan sayılar Doğal Sayılardı. ilk çağlarda insanlar nesneleri saymak için kullandığı doğal sayılar
N = { 0,1,2,3,4,.. } ile gösterilir. Daha sonra bu sayılar yetersiz kalmış ve ilerleyen zamanlarda Tam Sayıları bulmuşlar .Tam sayılar
Z = { ..-3,-2,-1,0,1,2,3.. } ile gösterilir.
Ama yeri gelmiş bu sayılarda yetersiz kalmış.Bakkala giden amcacım oradan bir yarım ekmek ver dediğinde bununda matematikte bir karşılığı olmalıydı.. ve Rasyonel Sayılar dediğiiz artık yarımı çeyreği rahatlıkla yazabileceğimiz sayılarda bulundu.
Q = { a/b ( a bölü b ) şeklinde yazılır }
Tabi matematikçinin işi yok gücü yok ya buldukça bulası gelmiş birşeyleri.Bir dik üçgen düşünün. bu üçgenin dik kenarları 1'er birim olsun.Peki hipotenüs dediğimiz o uzun kenar kaç birim olurdu?? evet sizlerin kök 2 dediğinizi duyar gibi oluyorum.Ama o zaman kök 2 diyen matematikçi arkadaşımız o zamanki insanlardan büyük tepki toplamış hatta belki de ölümle tehdit edilmişti. çünkü böyle bir sayı olamazdı.tabi zaman herşeyin ilacı