Karmaşık Sayı Formülleri

Karmaşık Sayı Formülleri

Mat&Geo Soru Paylaşım 📚🧮✏ Matematik geometri, whatsapp, soru paylaşım grubu

 

Matematikte ilk bulunan sayılar Doğal Sayılardı. ilk çağlarda insanlar nesneleri saymak için kullandığı doğal sayılar  N = { 0,1,2,3,4,..       }  ile gösterilir. Daha sonra bu sayılar yetersiz kalmış ve ilerleyen zamanlarda Tam Sayıları bulmuşlar .Tam sayılar Z =   { ..-3,-2,-1,0,1,2,3..   } ile gösterilir.

  Ama yeri gelmiş bu sayılarda yetersiz kalmış.Bakkala giden amcacım oradan bir yarım ekmek ver dediğinde bununda matematikte bir karşılığı olmalıydı.. ve  Rasyonel Sayılar dediğiiz artık yarımı çeyreği rahatlıkla yazabileceğimiz sayılarda bulundu. Q =  { a/b ( a bölü b   ) şeklinde yazılır }    

  Tabi matematikçinin işi yok gücü yok buldukça bulası gelmiş birşeyleri.Bir dik üçgen düşünün. bu üçgenin dik kenarları 1'er  birim olsun.Peki hipotenüs dediğimiz o uzun kenar kaç birim olurdu?? evet sizlerin kök 2 dediğinizi duyar gibi oluyorum.Ama o zaman kök 2 diyen matematikçi arkadaşımız o zamanki insanlardan büyük tepki toplamış hatta belki de ölümle tehdit edilmişti. çünkü böyle bir sayı olamazdı.tabi zaman herşeyin ilacı zaman gelmiş Reel sayılar dediğimiz şu ana kadar en büyük sayı kümesini de artık keşfetmiş olduk.artık pi dediğmiz bir sayının da elemanı olduğu küme varmış dedik.

   Peki ya sonra...  

x^2 (x kare) eşittir -1 gibi bir denklem nasıl çözülür diye uğraşılmış.Bu tamamen polinom tipinde her denklemi çözmememiz gerektiği için araştılan bir denklemdir. Ama karesi negatif olan bir sayı olamazdı şu anki bildiğimiz şeyler bize bunu öğretiyordu.

   Ama matematikçiler için aşılamayan dağlar geçilmez tepeler yoktur.İmkansız diye birşey yoktur.Sadece bizim biraz zamanımızı alır...birkaç yüzyıl kadar :)

  Karesi çift olan sayılarla ilgili ilk bilgilere M.S. 1.inci yüzyılda Heron un çalışmalarında rastlanmıştır.Elle tutulur gelişmeler taa 16.' yüzyılda NİCOLLE FONTANA TARTAGLİA ve Gerolama Cardona tarafından yapılan köklerin kapalı formüllerine veren döneme rastlanır.Daha sonra Rene Descartes bu sayıların olabileceğine inanmış ama kurduğu koordinat sisteminde bu saylara yer bulamınya SANAL sayı olarak adlandırmış.O zaman fransızca imaginaire demekmiş sanal ve oradaki i harfi bugün sanal sayı birimi olarak kabul ediliyor.

  18.' yüzyılda Abraham De Moivre , Leonard Euler ve Caspar Wessel bu konuyla ilgilenmiş.Caspar Wessel bu sayıları geometrik olarak göstermeyi başarınca yavaş yavaş matematik dünyası da bu sayıları kabullenmiştir. Ve en son olark gelmiş geçmiş en büyük matematikçi kabul edilen Carl Friedrich Gauss yayımladığı Karmaşık Sayılar Teoresi isimli makalesiyle hem konuyu geliştirmiş hemde popüler olmasını sağlamıştır.Gauss bu boru değil. yeter ki el atsın :)

 

MATEMATİKTE karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

z = a + \mathbf{i}b\,

Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. \mathbf{i}^2=-1 özelliğini sağlayan sanal birime \mathbf{i} denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde \mathbf{i} yerine, \mathbf{j} kullanılır.

Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı \mathbb{C} olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.

Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.

 

 


Yorumlar48

...
medine demir16.11.2013

z=2-2itan20 karmaşık sayısının kutupsal gösterimi nedir?  


Cevapla
...
medine demir16.11.2013

z=2-2itan20 karmaşık sayısının kutupsal gösterimi nedir?  


Cevapla
...
Mert Boşkurt05.11.2013
3Z + 2i = Z i + 4 Eşitliğini sağlayan Z sayısının mutlak değerini nedir??
Cevapla
...
Mert Boşkurt05.11.2013
3Z + 2i = Z i + 4 Eşitliğini sağlayan Z sayısının mutlak değerini nedir??
Cevapla
...
nil er03.11.2013
Z1=6cis40 Z2=4cis160 ise |z1+z2| nedir Yardımcı olursanız çok sevinirim
Cevapla
...
bilal02.11.2013

Z=i+5/i-1 ise Re(z)=?


Cevapla
...
muhammed said01.11.2013

teşekkür ederim. gayet başarılı bir çalışma. 


Cevapla
...
muhammed said01.11.2013

teşekkür ederim. gayet başarılı bir çalışma. 


Cevapla
...
şeyda29.10.2013

|z+4| = 2 koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarından argümenti en büyük olanın esas argümenti nedir?

Yardımcı olursanız sevinirim.


Cevapla
...
Hakan keskinsoy27.10.2013

z=√3-1 karmaşık sayısının eksi (-) yonde 60 derece döndürülmesi ile oluşan karmaşık sayıyı bulnuz ( once kutupsal biçime çevirlecek ) =?

 


Cevapla
...
ahmet özkan27.10.2013

arkdaslar ben karmaşık sayıda kök bulma yapamıyorum biri bana gösterirmi?

 


Cevapla
...
ERDEM POLAT21.10.2013

arkadaşlar gerçektende karmaşık sayılar karmaşık anlaşılacak gibi değil


Cevapla
...
senol11.10.2013
Merhaba bi sorum vardı. Tesekkurler Z=z1.z2/z3 Z1=3+4i Z2=5-i Z3=36-2i ise arg(z)=?
Cevapla
...
Nida Kocaman04.10.2013

hiç güzell değill ....!!


Cevapla
...
imran akgün03.10.2013

arg(z1z2)=arg z1-arg z2 dır. gösteriniz?(ıspatlayınınz)

 


Cevapla
...
imran akgün03.10.2013

arg(z1z2)=arg z1-arg z2 dır. gösteriniz?(ıspatlayınınz)

 


Cevapla
...
Hasan Yıldırım23.09.2013
Arkadaşlar neden karmaşık sayılar z harfi ile gösteriliyor bunun bir anlamı var mı?
Cevapla
...
ramazan can22.09.2013

Bir baba oğluna karesi -64 olan sayıyı sorduğunda oğlunun verceği cevabı bulunuz ?


Cevapla
...
murat özbey24.02.2013

-sin10-icos170 karmaşık sayısının esas argümenti nedir, cevaplayabilirmisiniz?


Cevapla
...
sefa dagcı06.02.2013

Z=(2+1/2i)  ise 
 
Z üssü 11 nedir? 

cevaplarsanız çok sevinirim. teşekkürler.


Cevapla
...
ayperi soysal20.01.2013

(1-i) 20 kuvveti sorusunu cevaplayabilir misiniz lütfen


Cevapla
...
Furkan ÖNDER13.12.2012

Logaritmayla ilgili bi sorum var ilgilenirseniz sevinirim.Yarın sınavım var.


log 10 tabanında 2  =a

log 10 tabanında 3  =b

olduguna göre, Log 10 tabanında 72'nin a ve b türünden değeri nedir?

 

İlgilenen arkadasa veya hocama Tşk ederim..

 


Cevapla
...
Furkan ÖNDER13.12.2012

Logaritmayla ilgili bi sorum var ilgilenirseniz sevinirim.Yarın sınavım var.


log 10 tabanında 2  =a

log 10 tabanında 3  =b

olduguna göre, Log 10 tabanında 72'nin a ve b türünden değeri nedir?

 

İlgilenen arkadasa veya hocama Tşk ederim..

 


Cevapla
...
mehmet çıtak29.11.2012

gerçekten matematik çok zevri


Cevapla
...
Ercan Taş18.11.2012

Arg(Z1)=50 Arg (Z2)=80 arg (Z3)=40 ise arg (Z2-Z1)/(Z3) ?

/=bölme işlemi

 


Cevapla
...
Deniz Tanır13.11.2012
...
mert gül13.11.2012

Z=-sin(120°)+icos(-60°) karmaşık sayısının esas argümenti kaç derecedir ?


Cevapla
...
melisa demirkol13.11.2012

gerçekten matematik çok zevkli


Cevapla
...
seda temel 07.11.2012

IZ1+Z2I(KÜÇÜK EŞİT)IZ1I+IZ2I  olduğunu ispatlayabilir misiniz lütfen

 


Cevapla
...
melis05.11.2012

5-12i=z'nin karesi
bunun köklerini nasıl buluyoruz?


Cevapla
...
Deniz Tanır04.11.2012

Suna'ya Yanıt:

Sınavın var galiba. Sınav tarihini bize söylersen o tarihe kadar ufakta olsa belki bir konu anlatım videosu çekebiliriz.


Cevapla
...
suna soğuk04.11.2012

karmaşık sayılar konusunun birde video anlatımını yayınlayabilir misinz?


Cevapla
...
Deniz Tanır02.11.2012

semiha'nın sorusunu unutmadık ; :)

Sorduğunuz soru sin40+cos40 +i   idi. Fakat bu soru aşağıdaki şekliyle olursa cevabın olabileceği söyleniyor. 

sin40+icos40 +i nin çözümünü yapayım

sin40=cos50

cos40=sin50

i=cis90

cos50+isn50+i

cis50+cis90

iki vektörün boyu 1 dir 

fizkteki gibi çözüm yapabiliriz

bileşke vektör :

elli derece ile 90 derecenin açıortay doğrusunun üzerinde olur 

yani cevap cis70 olur ki 

argz =70

 


Cevapla
...
sukru polat 3win01.11.2012

helal


Cevapla
...
Deniz Tanır01.11.2012
...
Deniz Tanır01.11.2012
...
Deniz Tanır01.11.2012

Semiha ya yanıt ;

Soru bana biraz garip geldi. Çözülmesi için bir kaç yere mail attım. Cevabı gelirse yayınlayacağım.


Cevapla
...
esra kandemir01.11.2012

Z1=5cis120
Z2=5cis180
olduguna göre |Z1-Z2|=?


Cevapla
...
muazzez 31.10.2012

1+cospi/12+isinpi/12 ise arg(z)=?


Cevapla
...
semiha 31.10.2012

A rasında artı olucak şekilde sorulmuş uğraştım ama bulamadım


Cevapla
...
semiha 31.10.2012

Z=sin40+cos40+i karmaşık sayısının esas argümenti nedir ?

 


Cevapla
...
Deniz Tanır31.10.2012

Eger oyleyse trigonometriden hatırlayacagımız gibi sin40=cos50 ve cos40=sin50 olduğundan 

sin40 + cos40i = cos50 + sin50i = cis50 yazabiliriz. Yani esas argümenti 50 olur. 


Cevapla
...
Deniz Tanır31.10.2012

acaba soru şu şekilde olabilir mi?

sin40 + cos40i yani cos40 ile i arasında artı olamadan


Cevapla
...
semiha 31.10.2012

Z=sin40+cos40+i karmaşık sayısının esas argümenti nedir ?

 


Cevapla
...
Deniz Tanır30.10.2012

Sorunuza yanit :


Cevapla
...
dasdasdas30.10.2012
  • (2+2i)5 kuvveti .(2-2i)6 kuvveti ifadesinin sonucunu bulunuz?
     

Cevapla
...
Nazli07.10.2012

Çok işime yaradı, teşekkürler :)


Cevapla
...
ebru yılmaz13.09.2012

gerçekten çok güzel açıklamısnız elinize sağlık..


Cevapla

Yorumlarınızı Bekliyoruz

Yorum Yazın

Yorum