Kümeler Konusu

Kümeler

Kümenin kesin bir tanımı yoktur. Matematikte küme tanımsız bir kavram olmakla beraber, küme denince aklımıza  nesnelerden meydana gelen topluluk gelir.

Küme kavramını örneklerle açıklayalım.

Örnek:

A = { 1, 3, a, 4} bir kümedir. 1, 3, a, 4 bu kümenin elemanlarıdır. A kümesinin 4 tane elemanı vardır. Bunu s(A) = 4 şeklinde yazarak belirtiriz. Bir elemanın kümeye ait olduğunu ∈, ait olmadığını ∉ işaretiyle belirtiriz.

1∈ A, 3 ∈ A, a ∈ A, 4 ∈ A, 5 ∉A dır.

Örnek:

A = { #, 2, {1, 3}, 4} kümesi 4 elemanlıdır.

Yani s(A) = 4 tür.

 # ∈ A, 2 ∈ A, {1, 3} ∈ A, 4 ∈ A dır. Ancak  1 ∉ A ve 3 ∉ A dır.

Liste Yöntemi

Kümenin bütün elemanlarını { } sembolü içerisine yazarak belirttiğimiz kümeye liste yöntemi ile gösterim diyoruz.

Örnek:

A = { 3, 6, 7, 8, 12}

B = { a, x, y, z, t, k}

C = { Mehmet, Hasan, Mustafa, Kemal, Osman, Ali, Zeynep, Gonca}

D = { keçi, koyun, tavuk, inek, at, zebra}

kümeleri liste yöntemi ile gösterilmiştir.

Ortak Özelik Yöntemi

Kümelerin elemanlarının ortak özelliğini belirterek yazdığımız kümeye ortak özellik yöntemi ile yazılmış küme denir.

Örnek:

A = { x | x, haftanın günleri}

B = { x | x, sınıfımızdaki gözlüklü erkek öğrenciler}

C = { x | -3 < x <20, x tek sayı }

kümeleri ortak özelik yöntemi kullanılarak yazılmış kümelerdir.

Boş Küme

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } veya ∅ simgesi ile gösterilir.

s(A) = 0 dır. Yani boş kümenin eleman sayısı sıfırdır.

Örnek:

A = {0} kümesi boş küme değildir.

0 ∈ A dır ve s(A) = 1 dir.

B = {∅} kümesi boş küme değildir. ∅ ∈ B dir. s(B) = 1 dir.

C = { x | x² + 4 = 0, x reel sayı} kümesi boş kümedir.

Çünkü x² + 4 = 0 ⇒ x² = -4 olur. Karesi sıfırdan küçük bir sayıya eşit olan bir reel sayıl olmadığı için C kümesi boş kümedir.

C = ∅ dir. s(C) = 0 dır.

Eşit Kümeler

 Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.

Örnek:

A = { x : 2 < x < 8, x asal sayı }

B = { x : 2 ≤ x < 9, x tek sayı }

kümelerini karşılaştıralım.

A = { 3, 5, 7 } ve

B = { 3, 5, 7 } olur.

A ve B kümlerinin bütün elemanları aynı olduğundan A = B ve s(A) = s(B) dir.

Venn Şeması

Kümenin elemanlarını kapalı eğrilerle çevrilmiş düzlem parçaları ile belirtmeye, kümenin venn şeması ile gösterilişi denir.

Örnek:

A = { a, b, c, d }

B = { Mehmet, Cihat, Süleyman }

kümeleri Venn şeması ile

  

şeklinde gösterilir.

Alt Küme

 Bir B kümesinin bütün elemanları bir A kümesinin de elemanları ise B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir. B ⊂ A şeklinde yada A ⊃ B şeklinde gösterilir, A kapsar B diye okunur.

Örnek:

A = { a, b, c, d, e}  ve

B = { a, d, e } ise

A kümesi B kümesini kapsar. Yani B kümesi A kümesinin alt kümesidir.

B ⊂ A veya A ⊃ B şeklinde gösterilir.

Bunun venn şeması ile gösterimi

alt küme şeklindedir.