Çarpanlara Ayırma Konusu

A, B, C dereceleri 1 den büyük üç polinom olsun. C = A.B ise A ve B polinomlarına C polinomunun çarpanı denir.

C polinomunun derecesi A ve B polinomlarının derecelerinin toplamına eşittir.

C = A.B, B = P.Q ise C = A.P.Q olur. Bir polinomun çarpanları ikiden fazla da olabilir.

Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

Çarpanlara ayırmada kullanılan çeşitli yöntemler vardır.

I. Ortak Çarpan Parantezine Alma

Her terimde ortak olan çarpan parantez dışına alınarak ifade çarpanlarına ayrılmış olur.

II. Gruplama Yaparak Ortak Çarpan Parantezine Alma

Bu yöntemde verilen polinom (çok terimli) ikişerli, üçerli, ... gruplara ayrılır. Bu gruplarda ardarda ortak çarpan parantezine alma işlemlerine devam edilerek verilen polinom çarpanlara ayrılmış olur.

III. Özdeşliklerden Yararlanma

1. İki terimin Karesi

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b)

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)(a - b)

2. İki Terimin Küpü

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

3. İki Kare Farkı

a2 - b2 = (a - b)(a + b)

4. İki küp Toplamı

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) veya

a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)

5. İki Küp Farkı

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) veya

a3 - b3 = (a - b)3 - 3ab(a - b)

6. Üç Terimli Bir İfadenin Karesi

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

7. xn + yn nin Çarpanları

n pozitif tam sayı olmak üzere

• xn - yn = (x - y)(xn-1 + xn-2y + ... + xyn-2 + yn-1)

n tek doğal sayı olmak üzere

• xn + yn = (x + y)(xn-1 - xn-2y + ... - xyn-2 + yn-1)

denklemleri vardır.

8. Terim Ekleme ve Çıkarma

Bazı ifadeler ilk bakışta çarpanlara ayrılmaz gibi görünürler. Ancak Bu ifadelere uygun olan bir terim eklenir ve çıkarılırsa ifade çarpanlara ayrılır durumuna gelebilir.

9. ax2 + bx + c nin Çarpanları

ax2 + bx + c ifadesinde a ≠ 0, b, c reel sayılardır.

Δ = b2 - 4ac ≥ 0 ise ax2 + bx + c ifadesi reel sayılar kümesinde çarpanlara ayrılabilir.

ax2 + bx + c ifadesinde a = 1 ise ifademiz x2 + bx + c ifadesine dönüşür. x2 + bx + c yi çarpanlara ayırmak için toplamları b, çarpımları c olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar x1 ve x2 ise

x2 + bx + c = (x + x1)(x + x2) olur.

Uyarı:

a ;≠ 1 ise ax2 + bx + c üç terimlisinde a nın çarpanları m, n ve c nin çarpanları e, f olmak üzere;

ax2 + bx + c = (mx + e)(nx + f) ise m.f + n.e = b dir.