Karmaşık Sayılar Konusu

 

matematik deneme sınavı

matematik ve geometri soruları

Konusu Konu Anlatım

Karmaşık Sayılar


KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ
 sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir ve   veya  ile gösterilir. 

Uyarı

 a, b pozitif gerçel sayı ve x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,



i NİN KUVVETLERİ

 olmak üzere,







Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Sonuç

Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,

kalan 0 ise   ifadesinin eşiti 1,

kalan 1 ise,  ifadesinin eşiti i,

kalan 2 ise,  ifadesinin eşiti –1,

kalan 3 ise,  ifadesinin eşiti –i dir.

Buna göre, n tam sayı olmak üzere,





Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve   olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.

Karmaşık sayılar kümesi \mathbb{C} ile gösterilir. Buna göre,


z = a + bi karmaşık sayısında;

a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,

b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.

z = a + bi ise

Re(z) = a

İm(z) = b     şeklinde gösterilir.

Parabol  doğrusuna göre simetriktir.

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar

kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani, 

doğrusuna göre simetriktir.

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar

kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani, 

İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.



KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,

Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

x eksenine reel eksen, y eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

 olmak üzere,

olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

Z karmaşık sayısının eşleniği  ile gösterilir. Buna göre,


Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir. Buna göre,


Kural

Reel kat sayılı,  ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.

KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.


Yukarıdaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,



KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

 olmak üzere,

z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

z+w=(a+ib)+(c+id)

=(a+c)+i(b+d)    dir.

Çıkarma İşlemi

z+(-w)=z-w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre, 

  olmak üzere,

z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

z­-w=(a+ib)-(c+id)

=(a-c)+i(b-d)    dir.

Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi,   olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,


=a.c+a.di+b.ci-b.d

=(a.c-b.d)+(a.d+b.c)i    dir.

Sonuç




Kural



Bölme İşlemi



biçiminde gösterilir. Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle  yapılır. Yani,





Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler











Soru
Cevap

Soru
Cevap

Soru
Cevap
Soru
Cevap

Soru

Cevap

Konuyla İlgili Dökümanlar

# Dosya Adı Link İndirme Sayısı
1 karmasık İndirmek için tıklayınız İndirme Sayısı:5
2 Karmaşık sayı-yazılı soruları İndirmek için tıklayınız İndirme Sayısı:0

Karmaşık Sayılar ile İlgili Makalelerimiz

Karmaşık Sayı Formülleri

Karmaşık Sayı Formülleri

Matematikte ilk bulunan sayılar Doğal Sayılardı. ilk çağlarda insanlar nesneleri saymak için kullandığı doğal sayılar 
N = { 0,1,2,3,4,..       }  ile gösterilir. Daha sonra bu sayılar yetersiz kalmış ve ilerleyen zamanlarda Tam Sayıları bulmuşlar .Tam sayılar
Z =   { ..-3,-2,-1,0,1,2,3..   } ile gösterilir.

  Ama yeri gelmiş bu sayılarda yetersiz kalmış.Bakkala giden amcacım oradan bir yarım ekmek ver dediğinde bununda matematikte bir karşılığı olmalıydı.. ve  Rasyonel Sayılar dediğiiz artık yarımı çeyreği rahatlıkla yazabileceğimiz sayılarda bulundu.
Q = { a/b ( a bölü b   ) şeklinde yazılır }    

  Tabi matematikçinin işi yok gücü yok ya buldukça bulası gelmiş birşeyleri.Bir dik üçgen düşünün. bu üçgenin dik kenarları 1'er  birim olsun.Peki hipotenüs dediğimiz o uzun kenar kaç birim olurdu?? evet sizlerin kök 2 dediğinizi duyar gibi oluyorum.Ama o zaman kök 2 diyen matematikçi arkadaşımız o zamanki insanlardan büyük tepki toplamış hatta belki de ölümle tehdit edilmişti. çünkü böyle bir sayı olamazdı.tabi zaman herşeyin ilacı