Polinomlar Konusu

 

matematik deneme sınavı

matematik ve geometri soruları

Polinomlar Konusu Konu Anlatım

Polinomlar Konu Anlatımı

Polinomlar konusu matematik için önemli bir konudur. Bu ders notunda polinomlar üzerinde duracağız ve nedir ne değildir öğrenmeye çalışacağız.

n doğal sayı a0, a1, a2, .... , an gerçel sayılar ve x değişken olmak üzere,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + anxn şeklinde tanımlanan ifadelere gerçel katsayılı bir bilinmeyenli polinom denir.

  • P(x) polinomunda a0, a1, a2, .... , an gerçel sayılarına polinom katsayıları denir.
  • P(x) polinomunda a0 + a1x + a2x2 + .... + anxifadelerine polinom terimleri denir.
  • P(x) polinomunda derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinom baş katsayısı denir.
  • P(x) polinomunda x in en büyük kuvveti olan doğal sayıya P(x) polinomunun derecesi denir ve der (P(x)) ile gösterilir.
  • Tüm katsayıları sıfır olan polinoma sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

  • P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + anxpolinomunda a0 ≠ 0, a= a2 = ..... = an = 0 ise P(x) polinomuna sabit polinom denir ve P(x) = aşeklinde gösterilir.

Sabit polinomun derecesi 0 dır.

İki Değişkenli Polinomlar

Katsayıları reel sayı, x ve y değişkenlerinin kuvvetlerinin kuvvetleri doğal sayı olmak üzere, P(x, y) şeklindeki polinomlara iki değişkenli polinom denir.

 

 

Örnek: P(x, y) = 2xy2 - 3x2y+ 4

olduğuna göre P(1, -1) kaçtır?

Çözüm:

P(x, y) = 2xy2 - 3x2y+ 4

P(1, -1) = 2.1.(-1)2 - 3.12.(-1)+ 4

= 2 + 3 + 4

9

Örnek: P(x, y) = x4y3 - 2x5 + y6 -3x5y4

olduğuna göre P(x, y) polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm: P(x, y) polinomunun derecesi a.xn.yn terimindeki n + m toplamının en büyük olanıdır.

 

3x5.y4 teriminde 5 + 4 = 9 toplamı en büyük olduğundan polinomun derecesi 9 dur.

İki Polinomun Eşitliği

İki polinomun eşit olabilmesi için dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları da aynı olmalıdır.

P(x) = a+ a1x + a2x2 + ..... + anxn

Q(x) = b+ b1x + b2x2 + ..... + bnxn

polinomlarında P(x) = Q(x) olabilmesi için

a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, a= bn

olmalıdır.

Örnek:

(a - 1)x3 + 4x2 + c + 2 = 3x3 + (b - 1)x2 + (2 - d)x

olduğuna göre a + b + c + d toplamı kaçtır?

Çözüm:

Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.

Yani;

a -1 = 3, b - 1 = 4, 2 - d = 0, c + 2 = 0

a = 4, b = 5, d = 2, c = -2

O halde, a + b + c + d = 4 + 5 - 2 + 2 = 9

Örnek:

P(x) = (2x - 3)(x + a)

Q(x) = 2x2 - x + b

P(x) = Q(x) olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?

Çözüm:

P(x) = Q(x)

(2x - 3)(x + a) = 2x2 - x + b

2x+ x(2a - 3) - 3a = 2x2 - x +b

Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.

2a - 3 = -1 , b = -3a

a = 1 b = -3

O halde; a.b = 1.(-3) = -3 tür.

Örnek:

P(x) = x2 + nx - 5

Q(x) = 9x + m

P(3x - 1) = Q(x2 - x)

olduğuna göre m - 2n farkı kaçtır ?

Çözüm:

P(3x - 1) = Q(x2 - x) eşitliğinde x yerine 1 yazalım

P(2) = Q(0)

22 + 2n - 5 = 9.0 +m

m - 2n = -1

Polinomlarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

İki polinom arasında toplama veya çıkarma işlemi yapılırken, aynı dereceden terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.

a.xn + b.xn = (a + b).xn

a.xn - b.xn = (a - b).xn

Örnek:

P(x) = x3 - 3x2 + 5x + 1

Q(x) = x2 + 4x + 4

olduğuna göre P(x) - Q(x) fark polinomu aşağıdakilerden hangisidir ?

A) x3 + 4x2 - 5x + 1 B) x3 + x2 - x -3 C) x3 + 4x2 - x +5

D) x3 - 4x2 + x -5 E) x3 - 4x+ x -1

Çözüm:

P(x) - Q(x) = (x3 - 3x2 + 5x - 1) - (x2 + 4x + 4)

= x3 - 3x2 + 5x - 1 - x- 4x - 4

x3 - 4x2 + x + 5 (Cevap : D)

Örnek:

P(x) + P(x + 2) = 4x + 2

olduğuna göre P(-2) kaçtır ?

Çözüm:

I. dereceden iki polinomun toplamı birinci dereceden bir polinom olduğuna göre P(x) = ax + b olmalıdır.

P(x) + P(x + 2) = 4x + 2

ax + b + a(x + 2) + b = 4x + 2

ax + b + ax + 2a + b = 4x + 2

2ax + 2a + 2b = 4x + 2

İki polinomun eşitliğinden ,

2a = 4 ve 2a + 2b = 2

a =2 4 + 2b = 2

b = -1

Buna göre; P(x) = ax + b = 2x - 1 dir.

x = -2 için P(-2) = 2.(-2) - 1

-5 tir.

Polinomlarda Çarpma işlemi

P(x) ve Q(x) polinomları çarpılırken I. polinomun her bir terimi II. polinomun her bir terimi ayrı ayrı çarpılarak toplanır.

Örnek:

P(x) = x- 4x + 1

Q(x) = x2 + x

H(x) = P(x).Q(x)

olduğuna göre H(1) değeri kaça eşittir ?

Çözüm:

I. Yol:

H(1) = P(1). Q(1) olduğuna göre

P(1) = 1- 4.1 + 1 = -2

Q(1) = 12 + 1 = 2

H(1) = P(1). Q(1) = 2.(-2) = -4 tür.

II. Yol:

H(x)= P(x). Q(x)

H(x) = (x- 4x +1). (x2 + x)

H(x) = x5 + x4 - 4x3 - 4x2 + x+ x

H(x) = x5 + x- 4x3 - 3x2 + x

H(1) = 1+ 14 - 4.13 - 3.12 + 1

H(1) = 1 + 1 - 4 - 3 + 1 = -4 tür.

Uyarı: Çarpım polinomunun derecesi, çarpanların dereceleri toplamına eşittir. der(P(X).Q(x)) = der(P(x)) + der(Q(x))

Örnek:

P(x) = 2x3 - 3x + 1

Q(x) = x4 - 5x2 + 3

olduğuna göre, [P(x2)].[Q(x3)]2 çarpım polinomunun derecesi kaçtır ?

Çözüm:

Bir polinomun derecesi bulunurken en büyük dereceli terimler alınarak işlem yapılır.

P(x) polinomunun derecesi 3 olduğundan P(x) = x3

Q(x) polinomunun derecesi 4 olduğundan Q(x) = x4

alınabilir.

O halde; P(x2).[Q(x3)]2 = (x2)3.[(x4)3]2

= x6.x24

= x30

olduğuna göre bu polinomun derecesi 30 dur.

Örnek:

ax3 + bx2 + cx + d = (x - 3).(x2 + 2x - 1)

olduğuna göre, b - c - a + d ifadesinin değeri kaçtır ?

Çözüm:

ax3 + bx2 + cx + d = (x - 3).(x+ 2x + 1)

eşitliğinde x = -1 yazalım.

-a + b - c + d = (-1 -3).(1 -2 -1)

b - c - a + d = (-4).(-2)

= 8 dir.

Uyarı: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 polinomunda

  • x = 1 yazılarak katsayılar toplamı bulunur. P(1) = a+ a+ a2 + a3 + a4
  • x = 0 yazılarak sabit terim bulunur. P(0) = a0
  • P(x) in çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: [P(1) + P(-1)] / 2
  • P(x) in tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: [P(1) - P(-1)] / 2
  • Örnek:

    P(x) = 2x3 - x2 + 2x -5

    olduğuna göre, P(x - 2) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır ?

    Çözüm:

    P(x - 2) polinomunun katsayılar toplamı sorulduğundan x = 1 değerini bu polinomda yerine yazalım.

    x = 1 için P(1 - 2) = P(-1) in değerini bulmalıyız.

    P(x) = 2x- x2 + 2x - 5 ifadesinde P(-1) i bulmak için x = -1 yazalım.

    x = -1 için P(-1) = 2.(-1)3 - (-1)+ 2(-1) - 5

    = -10

Konuyla İlgili Dökümanlar

# Dosya Adı Link İndirme Sayısı
1 polinom slayt İndirmek için tıklayınız İndirme Sayısı:0

Polinomlar ile İlgili Makalelerimiz

Polinomların Tanımı ve Anlamı

Polinomların Tanımı ve Anlamı

Serüven bagıntı ile baslamıstı. Bagıntıyı anlattıktan ve sizler anladıktan sonra(!), su şu özellikleri saglayan bağıntılara fonksiyon denir’’ demis ve fonksiyonları anlatmıstık. Simdi de şu şu özellikleri saglayan fonksiyonlara polinom denir’’ diyecegiz ve polinomu tanımaya baslayacagız. Anlayacagınız her polinom bir fonksiyondur ama her fonksiyon bir polinom değildir. Polinom olmayı hak etmek lazım. Nasıl mı? Görecegiz.

Polinomlar Konu Anlatım ve Çözümlü Sorular

Polinomlar Konu Anlatım ve Çözümlü Sorular

Sınıf: 10. Sınıf

KONU BAŞLIĞI: Polinomlar

Makalenin altındaki kaynaklarımızı indirmeyi unutmayın. İyi çalışmalar.

Polinom Sorusu

Polinom Sorusu

Bu haftanın sorusu polinomlardan.Bu soruyu çözmeden önce polinom fonsiyonların diğer fonksiyonlardan farkını hatırlayalım.a0,a1,a2,a3,a4,...,an-1,an€R ;n€N olmak üzere,