Dizi ve Seriler(Aritmetik Dizi- Geometrik Dizi ve Seri)

Dizi ve Seriler(Aritmetik Dizi- Geometrik Dizi ve Seri)

Mat&Geo Soru Paylaşım 📚🧮✏ Matematik geometri, whatsapp, soru paylaşım grubu

DİZİLER Bu bölümde reel değişkenli fonksiyonların limitlerinin hesabında yararlanacağımız reel sayı dizilerini inceleyeceğiz. 

DİZİ N+ = {1,2,3,...} olmak üzere f: N+ R şeklinde tanımlanan her fonksiyona reel sayı dizisi denir.

    f fonksiyonunun tanım kümesi N+ olduğuna göre, değer kümesinin elemanları f(1), f(2), f(3), ..., f(n), ... dir. Değer kümesinin elemanları
f(1) = a1, f(2) =a2, f(3) =a3, ..., f(n) =an, ... şeklinde gösterilir.

    Dizinin 1. terimi, 2. terimi, 3. terimi, ..., n. terimi, ... adı verilir. Dizinin 1. terimine ilk terim, n. terimine de genel terim denir.
a1, a2, a3, ..., an, ... terimlerinden oluşan dizi (a1, a2, a3, ..., an, ...) şeklinde gösterilir.

   Bu dizi kısaca (an) şeklinde gösterilir. Buna göre,
(an) = (a1, a2, a3, ..., an, ...) dir. Bir dizi genel terimi ile belirlidir.

Makalenin en altında Muharrem Şahin Hocamızın örnek sorularını indirebilirsiniz

   SABİT DİZİ Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.

MONOTON DİZİLER Her n € N+ için,

an < an+1 (an) monoton artandır.

an > an+1 (an) monoton azalandır.

Artan ya da azalan dizilere kısaca monoton diziler denir. ÖRNEK (an) = 3n/(n+3) dizisinin monoton artan olduğunu gösteriniz.

an – an +1 = 3n/(n+3) – 3(n+1)/(n+1+3) = - 9/(n+3).(n+4) tür. n £ N+ olduğu için,

-9/(n+3).(n+4)< 0 an < an+1 (an) dizisi monoton artandır.

ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER


ARİTMETİK DİZİ


A. TANIM

Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere   N+ için, an+1 – an = d olacak Î n "aritmetik dizi denir. Diğer bir ifadeyle   R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark  şekilde bir d  denir.

ÖRNEK
(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz. Ortak farkını bulunuz.

an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir.

B. GENEL TERİM


Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir.
5
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
................................
an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir.
Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir.
ÖRNEK
İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?
a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d
an = 8 + (n – 1) 2
an = 2n + 6'dır.

C. ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ


Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark :
d = ap – ak dir.
p - k

ÖRNEK
39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39)
d = (22 – 19)/6
d = ½' dir.

a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı :
d = b – a dır.
n + 1

ÖRNEK
- 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4
Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,
Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da
2
Sn = n (a1 + an) olur.
2
Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k p iken,
ap = ap – k +ap + k dır.
2

ÖRNEK
19. terimi 42 ve 33. terimi 88 olan aritmetik dizinin 26. terimi kaçtır?

a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için,
a26 = (a19+a33)/2
a26 = (42+88)/2
a26 = 65'tir.
 


GEOMETRİK DİZİ
 

A. TANIM


Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir. Diğer bir ifadeyle
 R varsa (an) dizisine Î N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r Î n " geometrik dizi, r sayısına ortak
an çarpan veya ortak oran denir.

ÖRNEK
(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanını bulunuz.

(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir.

B. GENEL TERİM


Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun. Bu durumda,
a1 = a1
a2 = r.a1
a3 = r.a2 = r2.a1
a4 = r.a3 = r3.a1
Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1.a1 veya an = rn – p.ap dir.

ÖRNEK
İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1 . a1
an = (1/2)n – 1 . 4
an = 23 - n
 


C. GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp – k = ap eşitliğinde bulunur.
ak

ÖRNEK
2. terimi 3/5 ve 5. terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?

a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2
r3 = 75/3/5
r3 = 125
r = 5 tir.

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse

Sn = a1.1 – rn olur.
1 – r

ÖRNEK
İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3. terimi nedir?

a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 . (1 – r3)/(1 – r)

Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k p iken, ap = dır.

ÖRNEK
3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan geometrik dizinin 7. terimi nedir?

a3 = ve a5 = (a3 . a7)1/2 6 = (3 . a7)1/2 36 = 3 . a7 a7 = 12'dir.
SONUÇ:
Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.
ÖRNEK:
Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n. terimi y'dir. Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y'ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn – 1 y = x.6n – 1 6n = 6y/x ... (*)
Sn = a1.(1 – rn)/(1 – r) = x . (1 – 6n)/(1 – 6) = x . (1 – 6y/x)/(-5) = (6y – x)/5 dir.

SERİLER
 


A. TANIM


• (an) reel terimli bir dizi olsun.
= a1+a2+a3+ ...+an + ... sonsuz toplamına seri denir.
• an'e serinin genel terimi denir.
• Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ ...+an toplamına serinin n. kısmi toplamı denir.
• (Sn) = (S1,...,S2,...,S3,...,Sn,...) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir.
• a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn' dir.
b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır.
• serisi yakınsak ise lim an = 0'dır. Bu ifadenin tersi doğru değildir.Yani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir.
ise serisi ıraksaktır.
 



B. ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER


İşlemlerin sonsuz kez yapılan türüdür. Ama sonuç genellikle bir sayıya yakınsar. Bu da genellikle sıfır sayısıdır.Bu yüzden sonsuz küçülme belli bir yerden sonra önemsenmez..



Konuyla İlgili Dökümanlar

# Dosya Adı Link İndirme Sayısı
1 Dizi-Seri_1 İndirmek için tıklayınız İndirme Sayısı:0
2 Dizi-Seri-2 İndirmek için tıklayınız İndirme Sayısı:0

Yorumlar5

...
misafir10.12.2012

spru yook

 


Cevapla
...
fatoş gcn02.05.2012

tesekkurer....


Cevapla
...
Tolga Çakıcı17.04.2012

Teşekkürler.Güzel anlatılmış.


Cevapla
...
ahmet özgür yılmaz04.01.2012

 çokkolay abi ya daha zoru yokmu


Cevapla
...
elif özsoy24.05.2011

cokm güzel anlatmışşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşşş.d.d.d.d.d.d.d.d.d

 


Cevapla

Yorumlarınızı Bekliyoruz

Yorum Yazın

Yorum