Türev Konusu

 

matematik deneme sınavı

matematik ve geometri soruları

Konusu Konu Anlatım

Türevin Anlamı

TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI

Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, s(t) fonksiyonu ile verilsin.

Hareketlinin t anındaki hızı:  v(t)=s’(t) ve t anındaki ivmesi: a(t)=v’(t)=s’’(t)  olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.

TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI,


y = f(x) fonksiyonunun A(x0, y0) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için:

m = tana dır.

y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi A(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir.

f’(x0) = m = tana dır.

Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi,


Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi:


Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi,


ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR

x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu  artandır.

x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu azalandır.

Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

Her x1, x2  için, f(x1) = f(x2) ise f(x) fonksiyonu sabittir.

EKSTREMUM DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ

Ekstremum Noktalar


P noktası yerel maksimum noktasıdır.

Yerel maksimumların en büyüğü de mutlak maksimum noktasıdır.

r noktası yerel minimum noktasıdır.

Yerel minimumların en büyüğü de mutlak minimum noktasıdır.

Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir.

Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir.

Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi


f’(x0-h)>0

f’(x0)=0

f’(x0+h)<0

h > 0 olmak üzere, ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.


f’(x0-h)<0

f’(x0)=0

f’(x0+h)>0

h > 0 olmak üzere, ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değer, f(x0) dır.

Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.

Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir. Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin – den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan – ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.

Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi


f’(x0-h)>0

f’(x0)=0

f’(x0+h)<0

h > 0 olmak üzere, ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.


f’(x0-h)<0

f’(x0)=0

f’(x0+h)>0

h > 0 olmak üzere, ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değer, f(x0) dır.

Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.

Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir. Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin – den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan – ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.

İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi


ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır


ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır.

İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

Konveks Eğriler

[a, b] aralığında f ”(x) > 0 ise, f nin grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin yukarısındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.


Konkav Eğriler

[a, b] aralığında f ”(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.


Dönüm (büküm) Noktası

f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.

Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.

x = x0 noktasının dönüm noktası olması, x = x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez. Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir. x = x0 ın ikinci türevin kökü olması, x = x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez. Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir. x = x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev tanımlı ise, ikinci türev sıfırdır.


y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir.

  1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır. Bu aralıkta f ‘(x) < 0 dır.
  2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f ‘(x) > 0 dır.
  3. a < x < c için f ”(x) > 0 dır.
  4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f ‘(b) = 0 ve f ‘(d) = 0 dır.
  5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle, f ”(c) = 0 dır.

Türev

a, b birer reel sayı olmak üzere,


fonksiyonu verilmiş olsun.

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun  daki türevi denir.


x – x0 = h alınırsa x = x0  için h= 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

eşitliği de yazılabilir.

 SAĞDAN VE SOLDAN TÜREV


fonksiyonu için,


limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve


biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,


limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve


biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

  1. f ‘(a+) = f’(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.
  2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.
  3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.
  4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

 TÜREV ALMA KURALLARI

 in Türevi


c Sabit Sayısının Türevi


c × f(x) in Türevi


Toplamın Türevi


Farkın Türevi


Çarpımın Türevi


Bölümün Türevi



Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi




f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur. Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

Bileşke Fonksiyonun Türevi

f’(2) gösterimi [f(2)’ gösterimi ile karıştırılmamalıdır. Aynı değildir. Çünkü f’(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f ’(x) in x = 2 için değeridir.[f(2)]’ gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]’ = 0 dır.


Köklü Fonksiyonun Türevi

Logaritmik Fonksiyonun Türevi


Üstel Fonksiyonun Türevi



Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.


Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi


f’(x) in türevi olan


y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir. Benzer şekilde,


ifadesine de y = f(x) in n.mertebeden türevi denir.

Ters Fonksiyonların Türevi

f: birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan fonksiyon bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.


Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.


Konuyla İlgili Dökümanlar

# Dosya Adı Link İndirme Sayısı
1 Limit-Türev-İntegral İndirmek için tıklayınız İndirme Sayısı:6

Türev ile İlgili Makalelerimiz

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları

Türev , diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, kabaca bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir.

Bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevi

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a} =
 
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

limiti olarak tanımlanır. Bu limitin temsil ettiği oran aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.