Koordinat Düzlemi ve Noktanın Analitiği Konusu

 

matematik deneme sınavı

matematik ve geometri soruları

  

Koordinant Düzlemi ve Noktanın Analitiği Konusu Konu Anlatım

Analitik Düzlem

Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır.


Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir.

Analitik düzlemde her noktaya bir (x, y) sayı ikilisi karşılık gelir. Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir.
P(x, y) noktası için, x noktanın apsisi, y de ordinatıdır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır.

Orijinin koordinatları O(0,0) dır.
x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır. A(a, o) noktası gibi. y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır. B(o, b) noktası gibi.

Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar.
I. Bölge: x > 0
y > 0
II. Bölge: x < 0
y > 0
III. Bölge: x < 0
y < 0
IV. Bölge: x > 0
y < 0

İki nokta arasındaki uzaklık

Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar arasındaki uzaklık.


Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir.A(a, c) veB(a, b) noktaları için |AB| = |c – b|

Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, buiki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir.
A(b, a) ve B(c, a) noktaları için |AB| = |c – b|

Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar arasındaki uzaklık


Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| biçiminde gösterilir.
A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir.
AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür. [AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir.

Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık;


eşitliği ile bulunabilir.
Burada x1 ile x2 nin ve y1 ile y2 nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez. İki nokta arası uzaklık bulunurken dik üçgenden de yararlanılabilir.


İki noktanın ordinatları farkı dik üçgenin bir kenarı, apsislerifarkı ise diğer dik kenarıdır.Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası uzaklığı verir.


Bir noktanın orijine uzaklığıP(a,b) noktasının orijine uzaklığı


Orta Nokta Koordinatları


Yukarıdaki şekilde A(x1, y1) noktası ile B(x2, y2) noktası veriliyor. [AB] doğru parçasının ortasındaki
nokta K(x0, y0) noktası ise


Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde (kare,dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları eşittir.


ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta noktası, [BD]nin de orta noktasıdır. Buradan; x1 + x3 = x2 + x4  ve  y1 + y3 = y2 + y4

Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatları


Belli oranda bölen noktayı bulurken; verilen oranlar ile apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında
benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik oluşur.

A(x1,y1) , B(x2,y2) ve C(x3,y3) noktaları için,


Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir.
m uzunluğunda (x2 – x1) kadar değişirse
n uzunluğunda (x3 – x2) kadar değişir.
Değişme miktarı artma yada azalma olabilir. Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı
yönde hareket etmektir. Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir.
m uzunluğunda (y2 – y1) kadar değişirse
n uzunluğunda (y3 – y2) kadar değişir.