Matris Determinant Konusu

Matrisler satır ve sütunlardan oluşan iki boyutlu dizilere denilmektedir. Matrisler tek satır veya tek sütundan meydana geldiğinde buna vektör veya tek boyutlu dizi adı verilmektedir. Matrislerle ilgili işlemler mühendislik konularının içerisinde çok sıkça karşılaşılan problemlerdendir.

Matrisler genelde [ ], ( ) ; [A], (A) veya A şeklinde gösterilirler.

Matris satır ve sütunlardan oluşmaktadır.Yukarıda gördüğünüz gibi [A] matrisinin satır sayısı ( i ) ve sütun sayısı ( j ) olarak gösterilmiştir. Normal olaylarla ilgili tanımlamalarda ve gösterimlerde matrisler genelde kare matrisler olarak karşımıza çıkar.

i = j olduğunda matris kare matris,

i ≠ j olduğunda dikdörtgen matris,

i = 1 satır ve j = n sütun matrise satır matris,

i = n satır ve j = 1 sütun matrise sütun matris adı verilmektedir.

Matrisler alt üçgen,üst üçgen,birim,köşegen,bant,devrik,simetrik,kofaktör,ek,ters ve ortogonal matris olmak üzere 11’e ayrılır.Şimdi bunların anlatımına geçelim.

Alt ve Üst Üçgen Matris

Matrisin köşegeni üstündeki elemanları sıfıra eşitse alt üçgen matris, matrisin köşegeni altındaki elemanları sıfıra eşitse üst üçgen matris olarak tanımlanır. Aşağıda sırasıyla üst ve alt üçgen matrisler gösterilmiştir.

Birim ve Köşegen Matris

Birim matris köşegeni üzerindeki elemanları 1 (bir) olan matrise denilmektedir. Köşegen matris (yani diagonal matris) ise sadece köşegeni üzerinde değer bulunan diğer elemanları 0 (sıfır) olan matrislere denilmektedir. Aşağıda sırasıyla birim ve köşegen matris verilmiştir.Köşegen matrisler diag(A) şeklinde gösterilir.

Bant Matris

Matris elemanlarının köşegen etrafında belli bir disipline göre dizilmesinden oluşan matrise bant matris denilir. Genelde kısmi türevli denklemlerin çözümünde bu tür matrislerle karşılaşırız. Aşağıda bant matrisin genel yapısı gösterilmiştir.

Devrik(Transpoze) Matris

Bir matrisin satır ve sütunlarını değiştirerek elde edilen matrise o matrisin transpozesi denilir ve [A]^T ile gösterilir. Simetrik bir matrisin transpozesi kendisine eşittir.

Devrik Matrisin Özellikleri

1) (A^T) ^T = A

2) ( A + B )^T = A^T + B^T

3) (l A )^T = l A^T

4) (A . B)^T = B^T . A^T 

Simetrik Matris

Bir matrisin transpozesi kendisine eşitse o matris simetrik matris olarak tanımlanmaktadır. Yani teker teker bakıldığında satır ve sütun elemanları birbirine eşit ise o matrise simetrik matris denilir.Aşağıda bir örneğini görebilirsiniz.

Kofaktör Matris

Bir matrisin herhangi bir elemanının bulunduğu satır ve sütun silinerek elde edilen matrisin işaretli determinantı o elemanın kofaktörü veya minörü olarak tanımlanmaktadır. Bu işlem bütün elemanlar için tekrarlanır ve yerlerine konulursa elde edilen yeni matris kofaktör matris olarak bilinir.

( a_i,j ) = [A] matrisinin ( i ). satır ve ( j ). sütunlu elemanını göstermek üzere,

1. ( a_ij )’ nin bulunduğu satır ve sütun silinir.
2. Geri kalan matrisin işaretli determinantı hesaplanır.
3. Böylece ( a_ij )’ nin kofaktörü (minörü = M_ij) bulunmuş olur. Bir diğer şekilde a_ij matrisinin kofaktörünü bulmak için aşağıdaki eşitliği kullanmamız gerekmektedir.Tabii ki isteğe bağlıdır.
4. Kofaktör ( a_ij ) = ( – 1 )^i+j . M _ij

Bu işlem adımları bütün elemanlar için tekrar edilerek sonuca gidilir.

Ek Matris

Ters(İnverse) Matris

A ve B n-kare matrisler olsun. Eğer  A . B = B . A = I(birim matris)  ise B ye A matrisinin tersi ( B = A^-1 ) ve A ya da B matrisinin tersi ( A = B^-1) denir.

• Bir n-kare A matrisinin tersinin olması için gerek ve yeter koşul (g.v.y.k), tekil olmamasıdır yani det(A) sıfırdan farklı olmalı).
• Eğer A tekil değil ise, A . B = A . C ; B = C olur. Tekil olmayan bir diag(k₁, k₂, …, k_n) matrisinin yani köşegen matrisin tersi diag(1/k₁, 1/k₂, …, 1/k_n) köşegen matrisi olmaktadır.

Eğer A₁, A₂, …, A_s tekil olmayan matrisler ise, diag(A₁, A₂, …, A_s) direkt toplamının tersi, diag(A^-1₁, A^-1₂, …, A^-1_s) olur.

Genel olarak tekil olmayan bir matrisin tersi aşağıdaki yollardan hesaplanabilir.

1-)Ek Matris(Adjoint) İle Ters Bulma

Bir matrisin ek matrisinin o matrisin determinantına bölünmesi ile elde edilen matrise o matrisin ters matrisi
[ A ] ^{– 1} denilir.

2-)Arttırılmış Matris İle Ters Bulma

[A: I] ~ [ I : A^-1 ] Burada A matrisine I birim matris ilave edilerek satır (sütun) işlemleri ile A matrisi yerinde  I birim matris oluştuğunda I birim matrisinin yerinde ters matris elde edilmiş olur.

3-)Cayley-Hamilton Teoremi İle Ters Bulma

Cayley-Hamilton teoremi ile de bir matrisin tersi bulunabilir.

4-)Tanımdan Hareketle Matrisin Tersini Bulma

A, n-kare matrisinin tersini bulmak için n-kare boyutlu bilinmeyenlerden oluşan bir matris alınarak; A . B = B . A = I özelliğini sağlayan n²xn² boyutlu sistemin çözümü ile aranılan değerler bulunarak, matrisin tersi bulunmuş olur.

Ters Matrisin Özellikleri

1) A . B = B . A = I ise B = A^-1 (inverse matrix) ters matris olur.
2) (A . B)^-1 = B^-1 . A^-1
3) A nın tersi varsa   A . B = 0 ==> B = 0 dır.
4) A . A^-1 = I

Ortogonal Matris

Genellikle eksen dönüşümlerinde kullanılan bu matris tanımlamasında bir matrisin ortogonal olabilmesi için matrisin transpozesinin tersine eşit olması gerekir.

[A] = [A^T] ^{– 1}  ise [A] matrisi ortogonaldir.

Matrislerle alakalı konu anlatımı bu şekildedir.Şimdi örnek çözümlere geçelim.

Matrislerde Toplama

Matrislerin toplanması aynı boyuttaki matrisini aynı konumdaki elemanlarının toplanmasıyla gerçekleştirilir. A(mxn) ve B(mxn) türünde iki matris olsun. A + B = C (mxn) türünde olur. a_ij + b_ij = c_ijkuralına göre toplama işlemi gerçekleşir.

Matrislerde Çarpma

2 matrisin birbiriyle çarpılabilmesi için birinci matrisin satır elemanlarıyla ikinci matrisin sütun elemanları çarpılarak çarpım sonucu elde edilir.Örneğin  A(mxn) ve B(nxm) türünde iki matris olsun. A B = C (mxm) türünde olur.

a_ip . b_pj = c_ij = kuralına göre çarpma işlemi gerçekleşmektedir.[ A_ij] ile [ B_mn ] çarpma işleminin gerçekleşebilmesi için (j = m) olmak zorundadır.Aşağıda 2 matris çarpmasının örneğini görebilirsiniz.

Not=Matrislerde bölme işlemi yoktur. Ancak matris herhangi bir sayıya bölünebilir.

Matrisler Örnek Çözümler

Soru 1=

Cevap 1=A(2×3), B(3×2) türünde olduğu için toplanmaz. Anlamsızdır denir.

Soru 2=

Cevap 2=