Doğruda ve Üçgende Açılar Konusu Konu Anlatım

Geometrik Kavramlar ve DoÄŸruda Açılar

Geometri dersinde baÅŸarılı olmak için  geometrik kavramlar  hakkında bilgi sahibi olmamız gerekir. Aynı zamanda ilerideki konularda sık karşımıza çok çıkacak  açı kavramı  üzerinde durmalıyız.

Geometrik Kavramlar

Geometri dersine ait terimlere geometrik kavramlar denir. Åžimdi en önemli geometrik kavramları tanıyalım.

Nokta: Boyutu yoktur. Kalem ucunun kağıtta bıraktığı izdir. Büyük harfle gösterilir.

DoÄŸru: Her iki yönde sonsuza kadar devam eden noktalar kümesidir.

Düzlem: Nokta ve doÄŸruları içeren 2 boyutlu zemindir.

Işın: Belirli bir noktadan baÅŸlayarak sonsuza kadar giden yönlü doÄŸrudur.

DoÄŸru parçası: BaÅŸlangıcı ve bitiÅŸi olan doÄŸru kesitidir. Ä°ki taraftan da sonsuza gitmez. Geometrik ÅŸekillerde kullandığımız çizgiler doÄŸru parçalarıdır.

Koordinat sistemi: Ä°ki boyutlu uzayı temsil etmek için oluÅŸturulmuÅŸ doÄŸru sistemi.

Açı:KesiÅŸen iki doÄŸrunun bir birine göre konumunu bildiren ölçüm birimi.

Üçgen: Üç kenarlı, kapalı, geometrik ÅŸekil.

Çokgen: En az üç kenarı olan, kapalı geometrik ÅŸekil. Üçgen de bir çokgendir.

Açıortay: Açıyı ortadan ikiye ayıran doÄŸru parçası ya da ışın.

Kenarortay: Kenarı iki eÅŸit parçaya ayıran doÄŸru parçası ya da ışın.

Dar açı: Ölçüsü 90 dereceden küçük olan açı.

Dik açı: Ölçüsü 90 dereceye eÅŸit olan açı.

GeniÅŸ açı: Ölçüsü 90 dereceden büyük olan açı.

DoÄŸru açı: Ölçüsü 180 derece olan açıdır.

 

Tam açı: Ölçüsü 360 derece olan açıdır.

Tümler açı: Toplamları 90 derece olan iki açının birbirine göre durumu.

Bütünler açı: Toplamları 180 derece olan iki açının birbirine göre durumu.

DoÄŸruda Açılar

Geometri dersi içerisinde açılarla çok sık karşılaşırız. Birçok geometrik ÅŸeklin içerisinde açıları göreceÄŸiz. Açıların karşımıza çıktığı ilk yer doÄŸrulardır.

DoÄŸruda açı geometrik hesaplamaların yapıldığı ilk konudur. Burada gerekli kavramları bilirsek iÅŸlem yapmamız kolaylaşır.

Ä°ki doÄŸru kesiÅŸiyorsa çapraz açıların ölçüsü birbirene eÅŸit olur. Bu açılara ters açı denir.

Ters açılar, iç ters açılar, dış ters açılar ve yöndeÅŸ açılar eÅŸittir.

DoÄŸruda açılar konusu, kesiÅŸen ve paralel doÄŸruların birbirine göre durumları ile ilgilidir.

Üçgende Açılar

 

Üçgende açılar konusunu iyi anlamak için önce üçgeni iyi anlamamız gerekir. DoÄŸrusal olmayan üç noktayı birleÅŸtiren doÄŸru parçalarının birleÅŸim kümesine üçgen denir.

Üçgende açılar konusunu iyi anlamamız için bir önceki konu olan doÄŸruda açılar konusunu da iyi bilmemiz gerekir. Zaten üçgendeki açı problemlerinin önemli bir kısmı da bu konudan edindiÄŸimiz bilgi ile çözülmektedir.

Åžekildeki ABC üçgeninde [AB], [AC] ve [BC] üçgenin kenarlarıdır. Bu üç doÄŸru parçasının birleÅŸmesiyle bir üçgen ortaya çıkmıştır. Küçük harfle gösterilen a, b, ve c üçgenin iç açılarıdır. Yine aynı ÅŸekilde x, y ve z de üçgenin dış açılarıdır. Üçgende iç ve dış açılar, kenarlar temel elemanlardır.

 

 

Üçgende Açılar Ä°çin Yardımcı Elemanlar

Üçgende birçok yardımcı elemanlar vardır. Bu yardımcı elemanlar üçgene çeÅŸitli özellikler katarlar. Bu ÅŸekilde ortaya çıkan yeni yapılarda  açıları hesaplamaya çalışırız.

Üçgende Açıortay

Açıortay kavramını geometrik kavramlar ve doÄŸruda açılar konusunda gördük. Burada da deÄŸiÅŸen bir ÅŸey yok. Açıyı eÅŸit iki parçaya ayıran doÄŸru parçasına açıortay denir. Üçgende olduÄŸu zaman eÄŸer iç açıyı ikiye bölüyorsa iç açıortay, eÄŸer dış açıyı ikiye bölüyorsa dış açıortay ÅŸeklinde tanımlanır.

Üçgende Kenarortay

 

Kenarortay kenarı iki eÅŸit parçaya ayıran ve karşıdaki köÅŸeden çıkan doÄŸru parçasıdır. Üçgende açılar konusunda açıortayla birlikte çok kullanılan elemanlardan biridir.

 

 

Kenar Orta Dikme

Bir kenarı ortadan iki eÅŸit parçaya ayıran doÄŸru eÄŸer dikse buna kenarortay dikme denir.

 

Yükseklik

Bir kenara dik bir ÅŸekilde karşı köÅŸeden çıkan doÄŸru parçasına denir. Yükseklik üçgen içinde olabildiÄŸi gibi üçgen dışında da olabilir. Üçgende alan hesaplamalarında çokça kullanılır.

Üçgende Açı ve Kenarlara Göre Sınıflandırılma

Üçgenler açı ve kenarlarına göre sınıflandırılabilirler. Açılarına göre üçgenler dar açılı üçgen, dik açılı üçgen ve geniÅŸ açılı üçgen ÅŸeklinde sınıflandırılır. Kenarlarına göre ise çeÅŸitkenar üçgen, ikizkenar üçgen ve eÅŸkenar üçgen ÅŸeklinde sınıflandırılır.

Dar Açılı Üçgen

Üç açısının hepsi 90 dereceden küçük olan üçgen dar açılı üçgendir. Kağıda düzgün bir ÅŸekilde çizdiÄŸimiz üçgen genellikle dar açılı üçgen olur.

Yukarıdaki üçgende α, β ve θ açıları 90 dereceden küçüktür. Bu nedende bu üçgen dar açılı bir üçgendir.

Dik Üçgen

Bir açısı 90 derece olan üçgene denir. 90 derecelik açıyı oluÅŸturan kenarlara dik kenar denir. 90 derecelik açının karşısındaki kenar ise en uzun kenardır ve bu kenara hipotenüs denir.

 

GeniÅŸ Açılı Üçgen

Açılardan birinin ölçüsü 90 dereceden daha büyük olan üçgen ÅŸeklidir. Bir açı geniÅŸ olduÄŸu için diÄŸer açılar genellikle oldukça dar olmaktadır.

GeniÅŸ açılı üçgende yüksekliklerden bazıları üçgen dışarısında olmaktadır.

ÇeÅŸitkenar Üçgen

Kenar uzunlukları farkı ölçülerde olan üçgenlere çeÅŸitkenar üçgen denir. Üçgenlerde açılar kenar uzunluklarıyla doÄŸru orantılı olduÄŸu için farklı kenarlar farklı açı ölçüleri demektir. Yani çeÅŸitkenar bir üçgende hem 3 kenar uzunluÄŸu hem de 3 açı ölçüsü farklıdır. Aksi belirtilmediÄŸi sürece biz üçgenleri çeÅŸitkenar üçgen olarak varsayarız.

Ä°kizkenar Üçgen

Kenarlarda ikisinin uzunluÄŸu birbirine eÅŸit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. Ä°kizkenar üçgende eÅŸit kenarların karşısındaki açılar da doÄŸal olarak birbirine eÅŸit olmaktadır. Ä°kizkenar üçgende eÅŸit kenarların eÅŸitliÄŸini gösteren bir simge genellikle her iki kenar üzerinde de bulunur.

EÅŸkenar Üçgen

 

Üç kenarı da eÅŸit uzunlukta olan üçgene eÅŸkenar üçgen denir. EÅŸkenar üçgende üç kenar da eÅŸit uzunluktadır. Bunun sonucunda üç açısın ölçüsü de eÅŸit olmaktadır. Bir üçgenin iç açıları toplam derecesi 180 olduÄŸuna göre bir eÅŸkenar üçgende her bir açının ölçüsü de 60 derece olacaktır.

Üçgende Açı Özellikleri

Yukarıdaki üçgende açılar için gerekli kavram bilgisi verilmiÅŸtir. Üçgende açı sorularının çözülebilmesi için üçgende açı özelliklerinin kavranması gerekir. Üçgende açı özellikleri birbiriyle baÄŸlantılı olan çok sayıda açı kurallarından oluÅŸmuÅŸtur. AÅŸağıda liste halinde en yaygın üçgende açı özellikleri bulunmaktadır.

• Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
• Bir üçgenin dış açıları toplamı 360 derecedir.
• Bir dış açı kendisine komÅŸu olmayan iki iç açının toplamına eÅŸittir.
• EÅŸit uzunluktaki kenara bakan açıların ölçüleri eÅŸittir.
• EÅŸkenar üçgenin bütün açıları 60 derece ve bütün kenar uzunlukları eÅŸittir.
• Bir üçgenin iç açıortayları bir noktada kesiÅŸirler.
• Bütünler iki açının açıortayları arasındaki ölçü 90 derecedir.

Yukarıdaki kurallar baz alınarak ve bu kurallardan çıkan sonuçlar kullanılarak bütün üçgende açı problemleri çözülebilir. Åžimdi üçgende açı özelliklerinin uygulama alanlarını gösterelim.

Yukarıdaki ÅŸekilde gördüÄŸünüz gibi ölçüsü x ve y olan iki iç açıya komÅŸu olmayan dış açının ölçüsü x + y olmaktadır. Aslında bu kural bir üçgenin iç açıları toplamı ile bir doÄŸru açının ölüsünün aynı ve 180 derece olmasından kaynaklanmaktadır. DiÄŸer açının ölçüsüne mesela z dersek hem üçgen açıları toplamı hem de doÄŸru açının ölçüsü x + y + z = 180 olur.

Åžimdi gerçek sayılarla bununla ilgili bir örnek çözelim.

Yukarıdaki üçgende ölçüsü x olan DAC açısı verilmiÅŸtir. Buna göre x kaç derecedir?

Çözüm: Bir dış açının kendisine komÅŸu olmayan iki iç açının toplamının ölçüsüne eÅŸit olduÄŸunu biliyoruz. Buradan da x = 60 + 35 = 95 derece olur.

Ä°kinci yol: Herhangi bir kurala baÄŸlı kalmadan sadece üçgen iç açıları toplamının 180 olduÄŸunu bilsek de yeterlidir. Ä°ki açının ölçüsünün toplamı 95 derece olduÄŸuna göre üçüncü ölçüsü 85 derece olacaktır. Üçüncü açısının dış açısı olan x ise 85 derecenin bütünleridir. Çünkü ikisi birlikte bir doÄŸru açı oluÅŸturmaktadır. Bu nedenle bu açının ölçüsü 180 - 85 = 95 derece olur yine.

GördüÄŸünüz gibi bir kuralın geliÅŸ noktasını bilirseniz bunu ezberinizde tutmak zorunda da kalmazsınız. Üçgende açı problemlerini hep bu mantıkla çözmeliyiz.

Yukarıdaki konkav dörtgen yine bir kuralı ifade etmektedir. Aslında bu kural da aynı mantıklı ortaya çıkmaktadır. C noktasından karşı kenara bir doÄŸru parçası çizdiÄŸinizde ve bir dış açı kendisine komÅŸu olmayan iki iç açının toplamına eÅŸittir kuralını uyguladığınız zaman elinize aynı form gelecektir.

Üçgende açılara ait baÅŸka bir özelliÄŸi kullanıp bir örnek soru daha çözelim.

Yukarıdaki üçgende komÅŸu iç ve dış açıortaylar verilmiÅŸ ve x açısının ölçüsü sorulmaktadır.

Çözüm: Dikkat ederseniz ortadan açıortayla ikiye ayrılmış iki açının bütünler açılar olduÄŸunu fark edersiniz. Bütünler açıların toplam ölçüsü 180 derecedir. Yani bu soruda nokta ve çizgiyle gösterilen açılardan 2 nokta açısı + 2 çizgi açısı = 180 derecedir. Bu durumda 1 nokta + 1 çizgi açısı = 90 olur. Yani (NAD) açısının ölçüsü 90 derecedir. Bu durumda 90 + 28 = 118 derece yapmaktadır. Dikkat ederseniz bu iki açıya x açısını da eklediÄŸimizde bir üçgen ortaya çıkmaktadır. Bu durumda x =180 - 118 = 62 derece olur.

Bu örnek soruda da aslında mantığımızı kullanarak yukarıda bahsettiÄŸimiz baÅŸka bir kuralı ortaya çıkardık. Bütünler iki açının açıortaylarının toplamının 90 derece olduÄŸunu yukarıda zaten söylemiÅŸtik.

Üçgende Açılar Soru Çözüm Yöntemleri

Üçgende açılar sorularını çözerken takip edilmesi gereken bazı önemli yöntemler vardır. Bu yöntemleri takip etmek üçgende açılar konusuna ait soru çözümünü en iyi ÅŸekilde yapmayı saÄŸlar. Öncelikle bütün geometri konularında olduÄŸu gibi iÅŸleme baÅŸlamadan önce soru kısmını detaylı bir ÅŸekilde okumalısınız. Çünkü üçgen ÅŸeklin üstünde belirtilmemiÅŸ bazı bilgiler soruda verilmiÅŸ olabilmektedir.

Geometri sorularında iÅŸlem yapmaktan kaçınmamak gerekir. Bu iÅŸlem yapma boÅŸ açı ve uzunluklara harfler vererek denklem eÅŸitlikleri elde etme ÅŸeklinde olmaktadır. Ayrıca üçgende açı sorularında gerekli gördüÄŸünüz yerde çizgiler çizerek yeni üçgenler elde etmekten kaçınmamalısınız. Bu ÅŸekilde soruyu daha kolay bir forma getirebilirsiniz.

 

AÅŸağıda 2009 yılında üniversite sınavının ikinci bölümünde çıkmış bir üçgende açılar sorusu bulunmaktadır.

GördüÄŸünüz gibi soru gayet standart bir üçgende açılar sorusudur. Her zamanki gibi belirli bilgiler verilmiÅŸ ve x açısının ölçüsü sizden istenmektedir. Bu sorunun çözümünü açılara harfler vererek gerçekleÅŸtirelim.

Çözüm: DAC üçgeni için 65 derecelik açı bir dış açıdır. Dolayısıyla kendisine komÅŸu olmayan a ve b açılarının toplamına eÅŸittir.

Bu durumda a + b = 65 olur. Åžimdi en büyük üçgene baktığımız zaman ise x + a + a + b + b = 180 eÅŸitliÄŸini rahatlıkla kurabiliriz. Bu durumda x + 2(a+b) = 180 olacaktır. Yukarıda elde ettiÄŸimiz eÅŸitliÄŸi kullanırsak da x + 2.65 = 180 ⇒ x + 130 = 180 ⇒ x = 50 derece eÅŸitliÄŸini elde ederiz. 

Bu örnek soruda görüldüÄŸü gibi bilmediÄŸimiz açılara harf verip eÅŸitlik kurmak üçgende açılar soruları için çok önemlidir. Elde edilecek olan eÅŸitlikler birinci dereceden basit denklemler olacaktır.