Vektörler Konusu

Vektörler

Düzlemde doğrultusu, yönü ve şiddeti olan doğru parçaları vektör olarak adlandırılır.

Şekilde AB ve CD eş yönlü doğru parçaları, AB ~ CD biçiminde gösterilir.

Yönlü doğru parçaları üzerinde tanımlanan "~" bağıntısı yansıyan, simetrik ve geçişken olduğundan bir denklik bağıntısıdır.

Bu denklik sınıfının her denklik sınıfı bir vektördür. Vektörler üzerinde bulundukları iki büyük harfle gösterildikleri gibi üzeri oklu tek bir küçük harfle de gösterilebilirler.

Bir vektör yön, doğrultu, uzunluk değişmeyecek şekilde aynı düzlemde yer değiştirebilir.

Yukarıdaki resimde aynı düzlemde bulunan denk vektörler gruplandırılmıştır. Bir vektörü hareket ettirerek ona denk başka bir vektörü elde ederiz.

Uzunluğu 1 birim olan vektöre birim vektör denir.

Başlangıç noktası ile bitiş noktası aynı olan vektöre sıfır vektörü denir. AA, BB ya da 0 şeklinde gösterilir.

Uzunlukları ve doğrultuları aynı, yönleri zıt olan vektörlere zıt vektörler denir. Zıt vektörlerin toplamı sıfır eder.

Başlangıçları aynı noktaya taşındığında aralarındaki açı 90 olan vektörlere dik vektörler denir.

Vektörlerde Toplama

Doğrultusu ve yönü aynı olan iki vektör toplanırken uzunluklar toplanır, doğrultu ve yön değişmez.

Doğrultusu aynı, yönü farklı iki vektör toplanırken uzunluklar çıkarılır. Bulunan vektörün yönü büyük olan vektörle aynı olur ve doğrultusu değişmez.

Doğrultuları farklı iki vektör toplanırken uç uca ekleme metodu veya paralelkenar metodu uygulanır.

Bir Vektörü Bir Reel Sayıyla Çarpma

Bir a vektörü ve K reel sayısı verilsin. Vektör ile sayı çarpılırken skaler çarpım kuralları uygulanır. Sayı negatif işaretliyse vektör de yön değiştirir. Farklı durumlarda ortaya çıkacak sonuçlar şunlardır:

K > 1 ise vektörün yönü değişmez, boyu artar.
0 < K < 1 ise vektörün yönü değişmez, boyu azalır.
K < -1 ise vektörün yönü değişir, boyu artar.
K = -1 ise vektörün yönü değişir, boyu değişmez.
K = 0 ise vektörün yönü belirsiz, boyu 0 olur.

Vektörlerle çıkarma işlemi yaparken çıkarılacak vektörün yönü ters çevrilip toplanır.

Vektörlerle toplama ve çıkarmada geometrik bilgilerden faydalanılır.

Yukarıdaki görselde özel bir durumda karşımıza çıkan pratik bir toplama şekli gösterilmiştir.

Vektörlerin Lineer Bağımlılığı

Düzlemde biri diğerinin herhangi bir katı olarak yazılabilen vektörlere lineer bağımlı vektörler denir.

Doğrultuları aynı olan iki vektör lineer bağımlıdır.
Doğrultuları farklı olan iki vektör lineer bağımsızdır.
Yönleri zıt olan iki vektör lineer bağımlıdır.

Bazen bir vektör diğer iki vektörün toplamıyla lineer bağımlıdır. Bu nedenle aynı düzlemde yer alan ikiden fazla vektör doğrultularına bakılmaksızın lineer bağımlıdır.

Vektörlerin Lineer Bileşimi

Reel sayılar kümesinde yer alan k1 ve k2 sayıları ve u ve v vektörleri olsun.

k1.u + k2.v vektörüne u ve v vektörlerinin lineer bileşimi denir.

Bir vektör aynı doğrultuda olan veya olmayan herhangi iki ya da daha fazla vektörün lineer bileşimi olarak yazılabilir.