Limit ve Süreklilik Konusu

Konuyla İlgili Dökümanlar

# Dosya Adı Link İndirme Sayısı
1 Limit İndirmek için tıklayınız İndirme Sayısı:9

 

   

Limit ve Süreklilik Konusu Konu Anlatım

Limit

SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA

x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve x\to {{a}^{-}} biçiminde gösterilir.

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve   biçiminde gösterilir.

LİMİT KAVRAMI

Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:


Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1), … noktalarını göz önüne alalım:

Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4, … giderek a ya yaklaşırken, ordinatları

f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1, … giderek b ye yaklaşır.

Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x)  b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,

f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve


şeklinde gösterilir.

Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan

E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) , … noktalarını göz önüne alalım.

Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 , … giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 , … giderek d ye yaklaşır.

Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.” şeklinde ifade edebiliriz.

Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve


biçiminde gösterilir.

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise,


biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir.

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x= a da limiti yoktur.

UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT


f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.

Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,




LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun.







PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ




TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ

sinx in ve cosx in limiti

sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,


tanx in limiti

tanx fonksiyonu  olmak üzere,


koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,



cotx in limiti

cotx  fonksiyonu, k\in \mathbb{Z} olmak üzere,  koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,


BELİRSİZLİK DURUMLARI


belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.





SÜREKLİLİK

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir.

y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,


f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir. 

  1. Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir.
  2. Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir.
  3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir.

L’HOSPİTAL KURALI

Bir fonksiyonun x = a noktasındaki limiti hesaplanırken karşımıza çıkan,


belirsizlikleri,


belirsizliklerinden birine dönüştürülerek, L’ Hospital Kuralı yardımıyla sonuçlandırılır.

f ve g, (a, b) aralığında türevlenebilir olsun. Her  için  olmak üzere,



Eğer,


ise yukarıdaki kural bir daha uygulanır.

L’ Hospital kuralında, belirsizliği ortadan kaldırmak için, yapılan işlemin: Payın türevini paya, paydanın türevini paydaya yazmak olduğuna dikkat ediniz.


düzenlemelerinden biriyle sonuca gidilir.

 belirsizliğinde,


 belirsizliklerinde, e tabanında logaritma alınarak sonuca gidilir.