Türev Konusu

 

matematik deneme sınavı

matematik ve geometri soruları

Türev Konusu Konu Anlatım

Türevin Anlamı

TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI

Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, s(t) fonksiyonu ile verilsin.

Hareketlinin t anındaki hızı:  v(t)=s’(t) ve t anındaki ivmesi: a(t)=v’(t)=s’’(t)  olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.

TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI,


y = f(x) fonksiyonunun A(x0, y0) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için:

m = tana dır.

y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi A(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir.

f’(x0) = m = tana dır.

Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi,


Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi:


Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi,


ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR

x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu  artandır.

x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu azalandır.

Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

Her x1, x2  için, f(x1) = f(x2) ise f(x) fonksiyonu sabittir.

EKSTREMUM DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ

Ekstremum Noktalar


P noktası yerel maksimum noktasıdır.

Yerel maksimumların en büyüğü de mutlak maksimum noktasıdır.

r noktası yerel minimum noktasıdır.

Yerel minimumların en büyüğü de mutlak minimum noktasıdır.

Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir.

Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir.

Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi


f’(x0-h)>0

f’(x0)=0

f’(x0+h)<0

h > 0 olmak üzere, ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.


f’(x0-h)<0

f’(x0)=0

f’(x0+h)>0

h > 0 olmak üzere, ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değer, f(x0) dır.

Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.

Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir. Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin – den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan – ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.

Konuyla İlgili Dökümanlar

# Dosya Adı Link İndirme Sayısı
1 Limit-Türev-İntegral İndirmek için tıklayınız İndirme Sayısı:0

Türev ile İlgili Makalelerimiz

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları

Türev , diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, kabaca bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir.

Bu türden bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevin

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a} =
 
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

limiti olarak tanımlanır. Bu limitin temsil ettiği oran aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.